Archive | denetarik

Kaixo, berriro ere, “euskaljakitun” matematikariok!

Duela zenbait egun Radio Nacional irratian entzuteko aukera izan nuen matematikaren inguruko espazio baten berri eman nizuen, eta bertako problema bat planteatu: ELTXO BIDAIARIAREN PROBLEMA. Gogoan al duzue? Ziur nago baietz. Bere garaian irakurtzeko aukerarik izan ez bazenute edota buruketa zertan zetzan bergogoratu nahi izanez gero, egin klik hemen.

Artikulu hari dagokionean, erantzun ugari jaso ditugu, beraz, ezer baino lehen zeuen partaidetzagatik eskerrak ematen dizkizuet erantzun duzuen guztioi: jolaserako matematika atal berri honen arrakastaren “errudun” zarete. Problema eta jolas matematiko gehiagoren argitalpenarekin aurrera jarraituko dudala hitzematen dizuet, hortaz; laster izango duzue, euskaljakitunok, problema berri batekin burua hausteko aukera: matematikarekin gozatzeko aukera.Eskerrik asko guztioi!!

Baina gatozen harira. Artikulua eta honen erantzunak irakurri dituzuen guztiok ongi asko jakingo duzuen legez, erantzun “zientifiko” gutxi batzuk baino ez ditugu izan. Gehiagoren beharrik zegoen ala ez? Problemaren soluzioak emango digu galdera honen erantzuna.

Iritsi da, beraz, problemaren SOLUZIOA aurkezteko unea:

Gure eltxo “supersonikoak” buruturiko distantzia 600 km-koa izango da.

Erraza, ez da hala? Esan bezala, ez da erantzun “zientifiko” gehiagoren beharrik egon; lehendabiziko erantzunek bete betean jo dute problemaren soluzioarekin.

IRABAZLEA nor izan den? Lehen erantzunaren igorlea bera, Britz (Iñaki) gure euskaljakitun saiatua. Zorionak Iñakiri eta soluzioa asmatu duzuen guztioi. Zorionak, era berean, Estherri bere ekarpenagatik. Ziur nago, dena dela, aipaturikoez gain asko eta asko iritsi zaretela erantzun zuzenera. Zorionak, beraz, guztioi.

Begira diezaiogun, ordea, txanponaren aurkako aurpegiari: erantzun zuzena deduzitzeko gai izan ez zareten guztiok, lasai, hurrengo batean izango da; gogora ezazue Einstein matematikari bikainak esana: “saiakera, lana, da benetan axola duena.”

Dena dela, erantzun zuzenaren bila buru-belarri lanean aritu eta arrakastarik izan ez duzuenok soluzio hori nondik irteten den galdetuko diozue zeuen buruari. Iñakik berak eman zuen esplikazio zuzena. Hala ere, soluzioaren jatorria ulertzeko azalpen zehatzago bat behar duzuenok, jarraian azter dezakezue problemaren soluzioaren AZALPENA:

600 km horien jatorria bi modutara esplika daiteke, logika hutsean oinarritua, bata, eta aplikazio matematikoetan oinarritua, bestea. Azter ditzagun, bada, bi azalpenak:

Azalpen logikoa: Trenak 200 km/h-ko abiaduraz doazenez, 1,5 ordu igaroko dira Zaragozan gurutzatu bitartean, eltxo bidaiaria kontuan hartu gabe. Izan ere, ordubete igarotzerakoan tren bakoitzak 200 km burutuak izango ditu, eta bien arteko distantzia 600 – 200 x 2 = 200 km-koa izango da. Azken 200 km horiek bien artean bete eta elkarrekin gurutzatzeko, ordu erdi gehiago batu beharko diogu hasierako ordu horri, tren bakoitzak 100 km burutzeko denbora hori beharko baitu, 30 minutu. Honen guztiaren ondorio bezala, bi trenak gurutzatu bitartean 1,5 ordu igaro beharko direla deduzitzen dugu. Eta azken finean, horixe izango da gure eltxo “supersonikoak” hegan emango duen denbora, bi trenak gurutzatu bitartean batetik bestera hegan arituko baita. Amaitzeko, eltxoak buruturiko distantzia eskatzen digutenez eta intsektuak hegan ematen duen denbora (aurrean deduzituriko 1,5 ordu horiek) honen abiadurarekin batera ezagutzen ditugunez, eltxoak buruturiko distantzia atera ahal izango dugu: 400 km/h-ko abiaduraz 1,5 ordu hegan arituko denez, 600 km-ko distantzia totala burutu izango du azkenean.

Azalpen matematikoari dagokionean, ordea, zertxobait konplexuagoa izango da, limitearen edota segiden kontzeptua agertzen baitzaigu:

Azalpen matematikoa: oraingo honetan eltxoan zentratuko gara; honek ordubete igaro ostean topatuko du lehendabiziko trena, hots, Bartzelonatik datorrena. Izan ere, bata 400 km/h-ko abiaduraz doanez eta, bestea, 200 km/h-koaz, 1 ordu igarotakoan eltxoak 400 km burutuak izango ditu, ibilbide osoa osatzeko beharrezkoak diren 200 km-ak Bartzelonatik datorrenak beteko dituelarik. Hortaz, une horretan bertan, tren bakoitzak 200 km burutuak izango ditu, bien artean 400 km, hots, 600 km-ko ibilbide osoaren 2/3-ak. Eta noski, gure eltxo “supersonikoak” ere distantzia hori bera (400 km) bete izango du lehendabiziko ordua igaro ostean. Une horretan, 200 km-ko distantzia egongo da bi trenen artean. Horrela, bada, eltxoak bere bigarren joan-etorrian, Madriletik datorren trenarekin topo egin bitartean, 200 km horien 2/3-ak burutuko ditu: 200 x 2/3 km-ko distantzia ez-zehatza, edo beste modu batera adierazita, 400 x 1/3 km-koa; hirugarren joan-etorrian beteko duen distantzia bigarrenean burutu duenaren 2/3-ek osatuko dute, hots, 400 x 1/3² km beteko ditu eltxoak bere joan-etorrian.

Azken finean, honako segida honek adieraziko digu eltxoak buruturiko distantzia:

400 x (1 + 1/3 + 1/3² + 1/3³ + 1/3⁴ +…)

Parentesiaren arteko segidaren limitea 3/2 denez, adierazpena modu honetan laburbil daiteke:

400 x 3/2 = 600 km

Hortxe duzue, beraz, soluzioko 600 km horien esplikazioa. Azalpen matematikoarekin arazoak dituzuenok ez larritu, konforma zaitezte esplikazio logikoa ulertzearekin.

Amaitu baino lehen, erreflexio txiki bat, erantzunei dagokienean izan den ZIENTZIA eta LETREN gaineko debatearen inguruan: jakintzak ez du mugarik; letrak, zientziak… zer axola du horrek, baina? Norberaren gaitasunak hobetzean datza jakintzaren funtsa: gehiago jakitean, arazoen aurreko norberaren prestaketa egokian. Garrantzitsua da gizakiarentzat bere bizia egiteko bizitoki egoki baten eraikuntza, sendaketarako sendagai egokien existentzia… baina garrantzitsua da, era berean, gizakien arteko komunikazio egokia bideratuko duen hizkuntza zuzen baten izatea; honekin zera esan nahi dut: jakintza zientifiko zein humanistikoa, biak ala biak dira funtsezkoak gizarte baten funtzionamendu oparorako. Bien arteko lehiak, konparazioak, ez du zentzurik: JAKINTZA JAKINTZA DA, bereizketen beharrik gabe. Matematikari ala ez-matematikari, guztiok gara hemen jakitunak, EUSKALJAKITUNAK.

Azkenik, prestatzen joan zaitezteten, soken inguruko problema berri baten argitalpena iragartzen dizuet egun batzuen buruan. Euskaljakitun maiteok, laster arte!

EUSKALJAKINTZA. Horixe da gure blogaren izena. Literatura, kirola, musika, zinea… geure egungo (nahiz aspaldiko) gizartearen hamaika alor ukitu ditugu Euskaljakintzaren ibilbide atsegin eta aberats honetan. Baina berrikuntza bat dakarkizuet; oraindik landu ez dugun “jakintzaren” funtsezko atal batekin natorkizue oraingo honetan: MATEMATIKA. Zientziaren mundu liluragarrian barneratzeko garaia iritsi dela pentsatzen dut; ariketa linguistiko anitz proposatu dizkigu Maitek azkenaldian “hizkuntzarekin arazoak” atalean (ikus HAU GUZTIA edo GUZTI HAU artikulua, ORTOGRAFIA ARIKETA BAT artikulua edo Zer gertatzen da BAIT partikularekin artikulua), baina orain kalkuluetarako garaia iritsi da. Adimen pribilegiatu horiek lan pixka bat egin dezatela!

Aurreko batean irratia entzuten ari nintzela, Radio Nacional-eko “No es un día cualquiera” programan eskaini zuten matematikaren inguruko sekzioak atentzio berezia deitu zidan. Kuestio eta ariketa anitz proposatu ohi dira asteburuetako programa berezi honetan, alor guztiak ukitzen dituztelarik. Dena dela, hizkuntzaren inguruko erreflexio eta elkarrizketak izaten dira ohikoenak. Bi hitzetan, gure blog honen egitura antzekoa du.

Baina aurrekoan, matematikari eskaini ziotzaion espazio bat: Josep Maria Albaigés i Olivart (bidegintzan ingeniaria eta zientzia ekonomikoetan lizentziatua, profesionalki eraikuntzaren eta higiezinen adarrekin erlazionaturiko hainbat enpresatan lanean aritutakoa, aparkamentu, autopista eta altuera handiko eraikinen diseinu eta eraikuntzan nabarmendua) aurkeztu zen Pepa Fernandez-ek aurkezturiko programan, eta problema matematiko benetan interesgarri bat planteatu zuen aurreko programaren batean aurkezturiko zenbaiti soluzioa eman ostean. Kuestioa da ingeniariak planteaturiko problemak zeharo liluratu ninduela. Eta, noski, arkatza hartu eta bi aldiz pentsatu gabe jarri nintzen burubelarri lanean erantzun zuzenaren bila, ehundaka zenbaki eta formula paperean izkribatuz. Soluzioaren atzetik eman nuen denbora!

Ez dizuet gehiago itxarotaraziko; zeuek ere garunari eman diezaiozuen, hona hemen, bada, hain katramilatsua iruditu daitekeen baina logika kontu huts batean laburbiltzen den problema liluragarri hori, ea zer iruditzen zaizuen:

Bartzelona eta Madril hiriak ditugu, bien arteko distantzia 600 km-koa delarik; bi hiriak elkartzen dituen trenbidean zehar bi tren abiatzen dira une berean eta aurkako norantzan, hau da, bata Madriletik Bartzelonara eta bestea Bartzelonatik Madrilera. Biek abiadura bera daramate: 200 km/h-koa.

Pasa gaitezen problemaren bigarren atalera: eltxo “supersoniko” bat 400 km/h-ko abiaduraz irteten da ziztu bizian Madriletik Bartzelonara bi trenak martxan jartzen diren une berean, hots, trenetariko batek egingo lukeenaren antzera baina abiadura bikoitzaz. Ordea, eltxo honek jokabide berezia du: tren batekin topo egiten duen bakoitzean bere norantza aldatu eta aurkako norantzan abiatzen da bueltan, berriro aurkako aldetik datorkion beste trena topatu eta berriro ere norantzaz aldatzeko, prozesu errepikakor eta etengabean. Horrela ba, Madriletik Bartzelonarako bere hasierako bide horretan Bartzelonatik datorren trena aurkitzerakoan, bira eman eta Madrilera bidean jarriko du bere burua, bertatik datorren trena topatu eta berriro ere Bartzelonara bidean jartzeko, bere 400 km/h-ko abiadura konstantea mantenduz. Horixe izango da gure eltxo “supersonikoaren” jokabide errepikakorra, bi trenak Zaragozan gurutzatuko direnera arte, Madril eta Bartzekolaren arteko erdiko puntuan, alegia.

Hau guztia ezaguturik, bi trenak gurutzatzerakoan zenbateko distantzia burutu izango du gure eltxo “supersonikoak”?

Ikusten duzuenez, ariketxoa ez da ahuntzaren gauerdiko eztula. Orain zuen txanda da; adimen alfer horiek lanean jartzeko unea. Ez zaitezte enuntziatua irakurri orduko ernegatu, ez ezazue lehendabiziko unetik itxaropena galdu: irakurri ezazue planteaturikoa behar adina aldiz eta ariketa ondo ulertutakoan, kontzeptu guztiak argi eta garbi eduki bezain laster, PENTSATU. Ziur nago aditz honen esanahia ezagutzen duzuela. Baina problema honen soluzioa topatuko duenik izango al da? Espero dut baietz. Pentsatzean oinarritzen da guztia, aintzat hartu nire aholkua.

Zuen erantzunen zain geratzen naiz, beraz. Euskaljakintzako partaide eta irakurle guztien partaidetza eskatzen dut hizkuntzarenarekin batera, matematikaren jakintzak aurrera egin dezan. Ea nor den soluzioa aurkitzen lehena!!

Euskaljakintzako partaide garen guztiok prest gaude irabazleari (problema askatzen lehena denari) gure blog honetan ohorezko postu bat eskaintzeko. Eta, agian, beste zerbait ere bai…

Azkenik, erantzun zuzenaren berri erantzun kopuru onargarri bat izan bezain laster emango dizuedala esatea baino ez. Erantzunik ez izatearen kasuan ere (ezinezkoa den zerbait, nire kontsolamendurako!) publikatua izango da, noski, erantzun zuzena; problema ez da soluziobiderik gabe geratuko. Izango duzue, beraz, soluzioaren berri, egun batzuen buruan. Orain zuen erantzunen zain geratzen naiz!

Honelako problemak gustuko badituzue nahiz Albaigésen matematika kontuei buruzko informazio gehiago nahi izanez gero, ingeniariaren bitakora pertsonalean izango duzue honen guztiaren berri.